Теория - Задание 10 ОГЭ - Системы счисления

🔢 Что такое система счисления?

Система счисления — это способ записи чисел с помощью символов (цифр) по определённым правилам. Каждая система счисления имеет основание — количество цифр, используемых для записи чисел.

В информатике чаще всего используются следующие системы счисления:

Система	Основание	Цифры	Применение
Двоичная	2	0, 1	Внутреннее представление данных в компьютере
Восьмеричная	8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	Компактная запись двоичных чисел
Десятичная	10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	Повседневные вычисления
Шестнадцатеричная	16	0-9, A, B, C, D, E, F	Запись адресов памяти, цветов

📝 Запись чисел в разных системах счисления

Число записывается как сумма произведений цифр на степени основания:

N = a_n·qⁿ + a_n-1·q^n-1 + ... + a₁·q¹ + a₀·q⁰

q — основание системы счисления
a_i — цифры числа (от 0 до q-1)
n — номер разряда (начиная с 0)

Пример: число 1011₂

1011₂ = 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Пример: число 2A₁₆

2A₁₆ = 2·16¹ + 10·16⁰ = 32 + 10 = 42₁₀

Буквы в шестнадцатеричной системе: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15

🔄 Перевод чисел из одной системы в другую

1. Перевод из любой системы в десятичную

Используем развёрнутую форму записи числа:

Пример: 27₈ → ?₁₀

27₈ = 2·8¹ + 7·8⁰ = 16 + 7 = 23₁₀

2. Перевод из десятичной системы в другую

Последовательно делим число на основание и записываем остатки в обратном порядке:

Пример: 27₁₀ → ?₂

27 ÷ 2 = 13, остаток 1
13 ÷ 2 = 6, остаток 1
6 ÷ 2 = 3, остаток 0
3 ÷ 2 = 1, остаток 1
1 ÷ 2 = 0, остаток 1
Ответ: 11011₂

3. Быстрый перевод между 2, 8 и 16 системами

Используем триады (для 8) и тетрады (для 16):

💡 Триады и тетрады

Двоично-восьмеричный код (триады):

0=000, 1=001, 2=010, 3=011, 4=100, 5=101, 6=110, 7=111

Двоично-шестнадцатеричный код (тетрады):

0=0000, 1=0001, ..., 9=1001, A=1010, B=1011, C=1100, D=1101, E=1110, F=1111

Пример: 1A₁₆ → ?₂

1 = 0001, A = 1010
Ответ: 00011010₂ = 11010₂

➕ Арифметика в разных системах счисления

Арифметические операции в любой системе счисления выполняются по тем же правилам, что и в десятичной, с учётом основания системы.

Сложение

Пример: 101₂ + 11₂

  101
+  11
-----
 1000

Ответ: 1000₂ (5 + 3 = 8)

Вычитание

Пример: 101₂ - 11₂

  101
-  11
-----
   10

Ответ: 10₂ (5 - 3 = 2)

💡 Совет

Для сложных вычислений переведите все числа в десятичную систему, выполните операцию, затем переведите результат обратно.

📊 Сравнение чисел в разных системах

Чтобы сравнить числа в разных системах счисления, нужно:

Перевести все числа в десятичную систему
Сравнить полученные значения

Пример: какое число больше: 101₂, 12₈ или A₁₆?

101₂ = 4 + 1 = 5₁₀
12₈ = 8 + 2 = 10₁₀
A₁₆ = 10₁₀
Ответ: 12₈ = A₁₆ > 101₂

🔍 Определение чётности и делимости

Чётность в двоичной системе

В двоичной системе чётное число всегда заканчивается на 0, а нечётное — на 1.

Пример

1010₂ = 10₁₀ — чётное (заканчивается на 0)
1011₂ = 11₁₀ — нечётное (заканчивается на 1)

Делимость на 3

Число делится на 3, если сумма его цифр в десятичной записи делится на 3.

Делимость на 5

Число делится на 5, если оно заканчивается на 0 или 5 в десятичной записи.

🔢 Простые числа

Простое число — это натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на себя.

Первые простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47...

⚠️ Важно!

Число 1 не является простым. Число 2 — единственное чётное простое число.

📐 Определение минимального основания системы счисления

Минимальное основание системы счисления на 1 больше максимальной цифры в записи числа.

Пример: число 1234 — найти минимальное основание

Максимальная цифра: 4
Минимальное основание: 4 + 1 = 5
Ответ: система счисления с основанием 5

Пример: число 1A3 — найти минимальное основание

Максимальная цифра: A = 10
Минимальное основание: 10 + 1 = 11
Ответ: система счисления с основанием 11

📋 Типы задач задания 10 ОГЭ

🔄 Перевод чисел

Перевод чисел из одной системы в другую и анализ результата.

➕ Арифметические выражения

Вычисление выражений с числами в разных системах счисления.

📊 Сравнение чисел

Нахождение наибольших/наименьших чисел, суммы двух чисел.

🔍 Поиск по условию

Поиск чётных, нечётных, делящихся на N, простых чисел.

📐 Определение основания

Найти основание системы счисления по записи числа.

✏️ Примеры решения задач

Пример 1: Перевод и подсчёт единиц

Условие: Переведите число 277 из десятичной системы счисления в двоичную. Сколько единиц содержит полученное число?

277 ÷ 2 = 138, остаток 1
138 ÷ 2 = 69, остаток 0
69 ÷ 2 = 34, остаток 1
34 ÷ 2 = 17, остаток 0
17 ÷ 2 = 8, остаток 1
8 ÷ 2 = 4, остаток 0
4 ÷ 2 = 2, остаток 0
2 ÷ 2 = 1, остаток 0
1 ÷ 2 = 0, остаток 1
Результат: 100010101₂
Количество единиц: 5
Ответ: 5

Пример 2: Арифметическое выражение

Условие: Вычислите значение арифметического выражения 101101101₂ + 110₈ + 10₁₆. В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

101101101₂ = 256 + 64 + 32 + 8 + 4 + 1 = 365₁₀
110₈ = 64 + 8 = 72₁₀
10₁₆ = 16₁₀
365 + 72 + 16 = 453
Ответ: 453

Пример 3: Сравнение чисел

Условие: Среди приведённых ниже трёх чисел найдите два наибольших и запишите их сумму в десятичной системе: 49₁₆, 201₈, 11101000₂

49₁₆ = 4·16 + 9 = 64 + 9 = 73₁₀
201₈ = 2·64 + 1 = 128 + 1 = 129₁₀
11101000₂ = 128 + 64 + 32 + 8 = 232₁₀
Два наибольших: 232 и 129
Сумма: 232 + 129 = 361
Ответ: 361

Пример 4: Поиск минимального основания

Условие: Число 3322_n записано в системе счисления с основанием n > 1. Определите наименьшее n. Для этого значения n запишите представление этого числа в десятичной системе счисления.

Максимальная цифра в числе 3322: 3
Минимальное основание: 3 + 1 = 4
Перевод числа в десятичную систему:
3322₄ = 3·4³ + 3·4² + 2·4¹ + 2·4⁰
= 3·64 + 3·16 + 2·4 + 2·1
= 192 + 48 + 8 + 2 = 250
Ответ: 250

⚠️ Частые ошибки

Забыть перевести все числа — все числа нужно перевести в десятичную систему для сравнения или вычислений
Неправильный перевод шестнадцатеричных чисел — помните, что A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15
Путать порядок остатков — при переводе из десятичной системы остатки записываются в обратном порядке
Не учесть основание при определении минимума — минимальное основание на 1 больше максимальной цифры
Считать 1 простым числом — 1 не является ни простым, ни составным числом

🎯 План решения задачи

📝 Внимательно прочитайте условие
🔄 Переведите все числа в десятичную систему счисления
📊 Выполните необходимые вычисления или сравнения
✅ Запишите ответ в требуемом формате

📚 Теория: Задание 10 ОГЭ — Системы счисления