📚 Теория: Задание 3 ОГЭ — Истинность составного высказывания
💡 Что такое высказывание?
Высказывание — это предложение, которое может быть либо истинным (true), либо ложным (false). Высказывания обозначаются буквами: A, B, C, X, Y и т.д.
Примеры простых высказываний:
x > 5— "x больше 5"x кратно 3— "x делится на 3 без остатка"x чётное— "x делится на 2"x нечётное— "x не делится на 2"
Составное высказывание — это высказывание, которое состоит из нескольких простых высказываний, соединённых логическими операциями.
🔧 Логические операции
∧ — Логическое умножение (И, AND, конъюнкция)
Высказывание A И B истинно только тогда, когда оба высказывания A и B истинны.
| A | B | A И B |
|---|---|---|
| истина | истина | истина |
| истина | ложь | ложь |
| ложь | истина | ложь |
| ложь | ложь | ложь |
Пример: (x > 5) И (x < 10) истинно,
когда x одновременно больше 5 И меньше 10.
∨ — Логическое сложение (ИЛИ, OR, дизъюнкция)
Высказывание A ИЛИ B истинно тогда, когда хотя бы одно из высказываний A или B истинно.
| A | B | A ИЛИ B |
|---|---|---|
| истина | истина | истина |
| истина | ложь | истина |
| ложь | истина | истина |
| ложь | ложь | ложь |
Пример: (x < 5) ИЛИ (x > 10) истинно,
когда x меньше 5 ИЛИ больше 10.
¬ — Логическое отрицание (НЕ, NOT, инверсия)
Высказывание НЕ A имеет значение, противоположное значению A.
| A | НЕ A |
|---|---|
| истина | ложь |
| ложь | истина |
Пример: НЕ (x > 10) истинно, когда x ≤
10.
📊 Приоритет логических операций
Логические операции выполняются в следующем порядке:
- НЕ (¬) — отрицание (высший приоритет)
- И (∧) — конъюнкция
- ИЛИ (∨) — дизъюнкция (низший приоритет)
⚠️ Важно!
Скобки меняют порядок выполнения операций. Всегда сначала выполняются операции в скобках!
Пример: НЕ (x > 5 И x < 10) — сначала выполняется И,
потом НЕ.
🔄 Эквивалентные преобразования
При решении задач часто нужно преобразовывать высказывания, используя законы де Моргана:
💡 Полезные преобразования
НЕ (x > a)эквивалентноx ≤ aНЕ (x < a)эквивалентноx ≥ aНЕ (x ≥ a)эквивалентноx < aНЕ (x ≤ a)эквивалентноx > a-
НЕ (x кратно n)эквивалентноx не кратно n -
НЕ (x чётное)эквивалентноx нечётное
📋 Типы задач задания 3 ОГЭ
🔍 Наибольшее число для истинного
Найти наибольшее число x, для которого высказывание истинно.
🔍 Наименьшее число для истинного
Найти наименьшее число x, для которого высказывание истинно.
🔍 Наибольшее число для ложного
Найти наибольшее число x, для которого высказывание ложно.
🔍 Наименьшее число для ложного
Найти наименьшее число x, для которого высказывание ложно.
📝 Алгоритм решения
Шаг 1: Определите тип задачи
- Нужно найти наибольшее или наименьшее число?
- Высказывание должно быть истинным или ложным?
Шаг 2: Преобразуйте высказывание (если нужно)
Если в задаче требуется найти число, для которого высказывание ложно, преобразуйте его в эквивалентное истинное высказывание, используя отрицание.
Шаг 3: Найдите область истинности
Определите, какие значения x удовлетворяют каждому простому условию, затем объедините их с помощью логических операций.
Шаг 4: Выберите нужное число
Из найденной области выберите наибольшее или наименьшее число в зависимости от условия задачи.
✏️ Примеры решения задач
Пример 1: Наибольшее число для ложного высказывания
Условие: Напишите наибольшее натуральное число x, для которого ложно высказывание:
НЕ ((x кратно 10) ИЛИ (x > 80)) истинноПо закону де Моргана:
(x НЕ кратно 10) И (x ≤ 80)
• НЕ кратно 10
• НЕ больше 80 (т.е. ≤ 80)
• 80 — кратно 10 ❌
• 79 — не кратно 10 ✓ и ≤ 80 ✓
Ответ: 79
Пример 2: Наименьшее число для истинного высказывания
Условие: Напишите наименьшее натуральное число x, для которого истинно высказывание:
•
x кратно 3 — x делится на 3•
x кратно 2 — x делится на 2•
НЕ (x ≤ 60) — x > 60
• 60 — кратно 6, но не больше 60 ❌
• 66 — кратно 6 и больше 60 ✓
Ответ: 66
Пример 3: Наибольшее число с условием на цифры
Условие: Напишите наибольшее натуральное число x, для которого истинно высказывание:
•
в записи числа нет повторяющихся цифр — все цифры
разные•
НЕ (x > 233) — x ≤ 233
• 233 — цифры: 2, 3, 3 — повторяется 3 ❌
• 232 — цифры: 2, 3, 2 — повторяется 2 ❌
• 231 — цифры: 2, 3, 1 — все разные ✓
Ответ: 231
Пример 4: Наименьшее число с НЕ и чётностью
Условие: Напишите наименьшее натуральное число x, для которого истинно высказывание:
•
x > 714 — x больше 714•
НЕ (x нечётное) — x чётное
• 715 — нечётное ❌
• 716 — чётное ✓ и > 714 ✓
Ответ: 716
Пример 5: Сложное условие с ИЛИ и НЕ
Условие: Напишите наибольшее натуральное число x, для которого истинно высказывание:
НЕ ((x ≤ 123) ИЛИ (x ≥ 567))=
(x > 123) И (x < 567)
(x > 123) И (x < 567) И (x нечётное)
Наибольшее число меньше 567 — это 566, но оно чётное.
Следующее: 565 — нечётное ✓
⚠️ Частые ошибки
- Путаница между И и ИЛИ — И требует выполнения всех условий, ИЛИ — хотя бы одного
- Неправильное применение отрицания — НЕ (x > a) это x ≤ a, а не x < a
- Забывают про границы — внимательно проверяйте, входит ли граничное значение в ответ
- Неправильный порядок проверки — при поиске наибольшего идите сверху вниз, наименьшего — снизу вверх
- Не учитывают кратность — число, кратное n, делится на n без остатка
🎯 План решения задачи
- 📝 Внимательно прочитайте условие задачи
- 🔍 Определите: ищем наибольшее или наименьшее, истинное или ложное
- 🔄 Преобразуйте высказывание (особенно если оно должно быть ложным)
- 📊 Определите область допустимых значений
- 🔢 Проверяйте числа в правильном направлении (от большего к меньшему или наоборот)
- ✅ Запишите ответ
💡 Полезные советы
Как быстро находить ответ
- При поиске наибольшего числа начинайте проверку с максимально возможного значения
- При поиске наименьшего числа начинайте проверку с минимально возможного значения
- Если условие должно быть ложным, сначала преобразуйте его в истинное
- Для условий с кратностью: если число кратно a и b, то оно кратно НОК(a, b)
Таблица преобразований
| Исходное условие | После НЕ |
|---|---|
| x > a | x ≤ a |
| x < a | x ≥ a |
| x ≥ a | x < a |
| x ≤ a | x > a |
| x кратно n | x НЕ кратно n |
| x чётное | x нечётное |
| x нечётное | x чётное |