← На главную ОГЭ 🎮 К заданию

📚 Теория: Задание 3 ОГЭ — Истинность составного высказывания

💡 Что такое высказывание?

Высказывание — это предложение, которое может быть либо истинным (true), либо ложным (false). Высказывания обозначаются буквами: A, B, C, X, Y и т.д.

Примеры простых высказываний:

Составное высказывание — это высказывание, которое состоит из нескольких простых высказываний, соединённых логическими операциями.

🔧 Логические операции

∧ — Логическое умножение (И, AND, конъюнкция)

Высказывание A И B истинно только тогда, когда оба высказывания A и B истинны.

A B A И B
истина истина истина
истина ложь ложь
ложь истина ложь
ложь ложь ложь

Пример: (x > 5) И (x < 10) истинно, когда x одновременно больше 5 И меньше 10.

∨ — Логическое сложение (ИЛИ, OR, дизъюнкция)

Высказывание A ИЛИ B истинно тогда, когда хотя бы одно из высказываний A или B истинно.

A B A ИЛИ B
истина истина истина
истина ложь истина
ложь истина истина
ложь ложь ложь

Пример: (x < 5) ИЛИ (x > 10) истинно, когда x меньше 5 ИЛИ больше 10.

¬ — Логическое отрицание (НЕ, NOT, инверсия)

Высказывание НЕ A имеет значение, противоположное значению A.

A НЕ A
истина ложь
ложь истина

Пример: НЕ (x > 10) истинно, когда x ≤ 10.

📊 Приоритет логических операций

Логические операции выполняются в следующем порядке:

  1. НЕ (¬) — отрицание (высший приоритет)
  2. И (∧) — конъюнкция
  3. ИЛИ (∨) — дизъюнкция (низший приоритет)

⚠️ Важно!

Скобки меняют порядок выполнения операций. Всегда сначала выполняются операции в скобках!

Пример: НЕ (x > 5 И x < 10) — сначала выполняется И, потом НЕ.

🔄 Эквивалентные преобразования

При решении задач часто нужно преобразовывать высказывания, используя законы де Моргана:

НЕ (A И B) = (НЕ A) ИЛИ (НЕ B)
Отрицание конъюнкции равно дизъюнкции отрицаний
НЕ (A ИЛИ B) = (НЕ A) И (НЕ B)
Отрицание дизъюнкции равно конъюнкции отрицаний

💡 Полезные преобразования

  • НЕ (x > a) эквивалентно x ≤ a
  • НЕ (x < a) эквивалентно x ≥ a
  • НЕ (x ≥ a) эквивалентно x < a
  • НЕ (x ≤ a) эквивалентно x > a
  • НЕ (x кратно n) эквивалентно x не кратно n
  • НЕ (x чётное) эквивалентно x нечётное

📋 Типы задач задания 3 ОГЭ

🔍 Наибольшее число для истинного

Найти наибольшее число x, для которого высказывание истинно.

🔍 Наименьшее число для истинного

Найти наименьшее число x, для которого высказывание истинно.

🔍 Наибольшее число для ложного

Найти наибольшее число x, для которого высказывание ложно.

🔍 Наименьшее число для ложного

Найти наименьшее число x, для которого высказывание ложно.

📝 Алгоритм решения

Шаг 1: Определите тип задачи

Шаг 2: Преобразуйте высказывание (если нужно)

Если в задаче требуется найти число, для которого высказывание ложно, преобразуйте его в эквивалентное истинное высказывание, используя отрицание.

Шаг 3: Найдите область истинности

Определите, какие значения x удовлетворяют каждому простому условию, затем объедините их с помощью логических операций.

Шаг 4: Выберите нужное число

Из найденной области выберите наибольшее или наименьшее число в зависимости от условия задачи.

✏️ Примеры решения задач

Пример 1: Наибольшее число для ложного высказывания

Условие: Напишите наибольшее натуральное число x, для которого ложно высказывание:

(x кратно 10) ИЛИ (x > 80)
Решение:

Шаг 1: Высказывание должно быть ложным. Ложное высказывание с ИЛИ означает, что обе части ложны.
Шаг 2: Преобразуем: высказывание ложно, когда
НЕ ((x кратно 10) ИЛИ (x > 80)) истинно
По закону де Моргана: (x НЕ кратно 10) И (x ≤ 80)
Шаг 3: Ищем наибольшее натуральное число, которое:
• НЕ кратно 10
• НЕ больше 80 (т.е. ≤ 80)
Шаг 4: Проверяем числа от 80 вниз:
• 80 — кратно 10 ❌
• 79 — не кратно 10 ✓ и ≤ 80 ✓
Ответ: 79

Пример 2: Наименьшее число для истинного высказывания

Условие: Напишите наименьшее натуральное число x, для которого истинно высказывание:

(x кратно 3) И (x кратно 2) И НЕ (x ≤ 60)
Решение:

Шаг 1: Высказывание должно быть истинным. Все части, соединённые И, должны быть истинны.
Шаг 2: Преобразуем каждую часть:
• x кратно 3 — x делится на 3
• x кратно 2 — x делится на 2
• НЕ (x ≤ 60) — x > 60
Шаг 3: Если x кратно 3 и кратно 2, то x кратно НОК(3, 2) = 6.
Шаг 4: Ищем наименьшее число, кратное 6 и большее 60:
• 60 — кратно 6, но не больше 60 ❌
• 66 — кратно 6 и больше 60 ✓
Ответ: 66

Пример 3: Наибольшее число с условием на цифры

Условие: Напишите наибольшее натуральное число x, для которого истинно высказывание:

(в записи числа x нет повторяющихся цифр) И НЕ (x > 233)
Решение:

Шаг 1: Преобразуем условия:
• в записи числа нет повторяющихся цифр — все цифры разные
• НЕ (x > 233) — x ≤ 233
Шаг 2: Ищем наибольшее число ≤ 233 без повторяющихся цифр.
Шаг 3: Проверяем числа от 233 вниз:
• 233 — цифры: 2, 3, 3 — повторяется 3 ❌
• 232 — цифры: 2, 3, 2 — повторяется 2 ❌
• 231 — цифры: 2, 3, 1 — все разные ✓
Ответ: 231

Пример 4: Наименьшее число с НЕ и чётностью

Условие: Напишите наименьшее натуральное число x, для которого истинно высказывание:

(x > 714) И НЕ (x нечётное)
Решение:

Шаг 1: Преобразуем условия:
• x > 714 — x больше 714
• НЕ (x нечётное) — x чётное
Шаг 2: Ищем наименьшее чётное число больше 714.
Шаг 3: Проверяем числа от 715 вверх:
• 715 — нечётное ❌
• 716 — чётное ✓ и > 714 ✓
Ответ: 716

Пример 5: Сложное условие с ИЛИ и НЕ

Условие: Напишите наибольшее натуральное число x, для которого истинно высказывание:

НЕ ((x ≤ 123) ИЛИ (x ≥ 567)) И (x нечётное)
Решение:

Шаг 1: Преобразуем первую часть по закону де Моргана:
НЕ ((x ≤ 123) ИЛИ (x ≥ 567))
= (x > 123) И (x < 567)
Шаг 2: Полное условие:
(x > 123) И (x < 567) И (x нечётное)
Шаг 3: Ищем наибольшее нечётное число в диапазоне (123, 567).
Наибольшее число меньше 567 — это 566, но оно чётное.
Следующее: 565 — нечётное ✓
Ответ: 565

⚠️ Частые ошибки

🎯 План решения задачи

  1. 📝 Внимательно прочитайте условие задачи
  2. 🔍 Определите: ищем наибольшее или наименьшее, истинное или ложное
  3. 🔄 Преобразуйте высказывание (особенно если оно должно быть ложным)
  4. 📊 Определите область допустимых значений
  5. 🔢 Проверяйте числа в правильном направлении (от большего к меньшему или наоборот)
  6. ✅ Запишите ответ

💡 Полезные советы

Как быстро находить ответ

  • При поиске наибольшего числа начинайте проверку с максимально возможного значения
  • При поиске наименьшего числа начинайте проверку с минимально возможного значения
  • Если условие должно быть ложным, сначала преобразуйте его в истинное
  • Для условий с кратностью: если число кратно a и b, то оно кратно НОК(a, b)

Таблица преобразований

Исходное условие После НЕ
x > a x ≤ a
x < a x ≥ a
x ≥ a x < a
x ≤ a x > a
x кратно n x НЕ кратно n
x чётное x нечётное
x нечётное x чётное