← На главную ОГЭ 🎮 К заданию

📚 Теория: Задание 8 ОГЭ — Множества и круги Эйлера

🔢 Что такое множества?

Множество — это совокупность объектов, объединённых по какому-либо признаку. В контексте поисковых запросов множество — это набор страниц, которые содержат определённое слово или соответствуют запросу.

Например:

🎯

Интерактивные круги Эйлера

Кликните на любую область на диаграмме, чтобы увидеть логическое выражение, которое её описывает. Три круга представляют три множества, их пересечения образуют 8 различных областей.
A B C

📝 Выбранная область

Кликните на область диаграммы
Выберите интересующую область на кругах Эйлера
Множество A
Множество B
Множество C
A
A
B
B
C
C
A и B
A & B
A и C
A & C
B и C
B & C
A и B и C
A & B & C
⚙️

Логические операции над множествами

¬
НЕ (отрицание)
A
Все элементы, не принадлежащие множеству. Обозначается: ¬A, !A, Ā
Пример: ¬«Царь» — все страницы, где нет слова «Царь»
∩ &
И (пересечение)
A B
Элементы, принадлежащие обоим множествам одновременно.
Пример: «Царь» & «Иван» — страницы с обоими словами
∪ |
ИЛИ (объединение)
A B
Элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств.
Пример: «Царь» | «Иван» — страницы с любым из слов

💡 Важно запомнить

  • A & B — пересечение (страницы с A и с B)
  • A | B — объединение (страницы с A или с B, или с обоими)
  • !A — дополнение (страницы без A)
  • Операция & имеет более высокий приоритет, чем |
🔍

Поисковые запросы

В поисковых системах используются операторы для уточнения запросов. Понимание этих операторов помогает решать задачи ОГЭ.

📝 Пример с двумя множествами

Запрос Царь | Иван найдёт страницы, где есть слово «Царь» или слово «Иван» (или оба).

Запрос Царь & Иван найдёт страницы, где есть оба слова одновременно.

Запрос Царь & !Иван найдёт страницы со словом «Царь», но без слова «Иван».

📝 Пример с тремя множествами

Запрос A | B | C найдёт страницы, где есть хотя бы одно из слов.

Запрос A & B & C найдёт страницы, где есть все три слова.

Запрос A & (B | C) найдёт страницы, где есть A и хотя бы одно из B или C.

📐

Формулы для вычислений

📐 Основные формулы

A | B = A + B - A & B

Объединение = сумма минус пересечение (чтобы не считать дважды)

📐 Формула для трёх множеств

A | B | C = A + B + C
- A&B - A&C - B&C
+ A&B&C

📐 Формула для A & (B | C)

A & (B | C) = A&B + A&C - A&B&C

Раскрываем скобки по правилу дистрибутивности

🧮 Алгоритм решения задач

1

Нарисуйте круги Эйлера

Нарисуйте три пересекающихся круга для каждого множества. Обозначьте области.

2

Запишите известные данные

Отметьте на диаграмме все известные значения из условия задачи.

3

Выразите неизвестное через формулы

Используйте формулы для связей между областями. Выразите искомую область.

4

Вычислите и проверьте

Подставьте значения и вычислите ответ. Проверьте логику.

⚠️ Типичные ошибки

  • Забыть вычесть пересечение при подсчёте объединения
  • Перепутать знаки & (И) и | (ИЛИ)
  • Не учесть тройное пересечение в задачах с тремя множествами
  • Неправильно интерпретировать вложенные множества (одно является частью другого)
✅

Примеры решения задач

📝 Пример 1: Два множества

Запросы: «Крокодил» — 432 тыс., «Гена» — 543 тыс., «Крокодил & Гена» — 205 тыс.

Найти: «Крокодил | Гена» = ?

Решение:

По формуле: A | B = A + B - A & B

«Крокодил | Гена» = 432 + 543 - 205
= 975 - 205 = 770 тыс.

✓ Ответ: 770 тысяч страниц

📝 Пример 2: Три множества

Дано: «Царь» — 340 тыс., «Иван» — 260 тыс., «Полтава» — 120 тыс.

«Царь | Иван | Полтава» — 660 тыс., «Царь & Иван» — 40 тыс., «Царь & Полтава» — 0 тыс.

Найти: «Иван & Полтава» = ?

Решение:

По формуле для трёх множеств:
A|B|C = A + B + C - A&B - A&C - B&C + A&B&C

Поскольку «Царь & Полтава» = 0, то и A&B&C = 0
660 = 340 + 260 + 120 - 40 - 0 - X + 0
660 = 720 - 40 - X
X = 680 - 660 = 20 тыс.

✓ Ответ: 20 тысяч страниц

📝 Пример 3: Формула A & (B | C)

Дано: A & (B | C) = 915, A & B & C = 405, A & C = 615

Найти: A & B = ?

Решение:

Формула: A & (B | C) = A&B + A&C - A&B&C

915 = X + 615 - 405
X = 915 - 615 + 405 = 705

💡 Советы

  • Всегда рисуйте диаграмму!
  • Обозначайте неизвестные области буквами или числами
  • Используйте формулы последовательно, выражая неизвестные
  • Проверяйте: все значения должны быть положительными!